Понятие о предельном цикле. Предельный цикл
Динамич. системы, изображающая периодич.
движение. В окрестности П. ц. либо удаляются от него (неустойчивый
П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему - "наматываются"
на него (устойчивый П. ц.). Поведение траекторий в окрестности П. ц. связано
со значениями его мультипликаторов (см. Бифуркация
).Если абс. величины
всех мультипликаторов меньше 1, то все трдектории неограниченно приближаются
к нему и он устойчив. Устойчивый П. ц. является матем. образом периодич. автоколебаний
. Напр., ур-ние Ван дер Поля (описывающее, в частности, динамику лампового
генератора) имеет при значениях параметра
> 0 единственный
устойчивый П. ц. (рис. 1).
Рис. 1. Фазовые портреты генератора Ван дер Поля
при различных значениях нелинейности: а
- квазигармоничные ;
6
- сильно несинусоидальные; в
- релаксационные.
Для систем с одной степенью свободы (их фазовое
пространство - плоскость) устойчивыми П. ц. и устойчивыми состояними равновесия
исчерпываются все возможные объекты, к-рые притягивают соседние траектории на
фазовой плоскости. В многомерных динамич. системах с размерностью фазового пространства
n
3
возможны более сложные притягивающие объекты - аттракторы.
Рис. 2. Седловой предельный цикл:
- устойчивое се-паратрисное многообразие;-
неустойчивое сепаратри-сное многообразие.
Если часть мультипликаторов (но не все) по модулю больше 1, то П. ц. седловой (рис. 2) и лежит на пересечении двух сепаратрисных многообразий: устойчивого, по к-рому траектории приближаются к П. ц., и неустойчивого, состоящего из удаляющихся от П. ц. траекторий. Устойчивые многообразия П. ц. могут разделять в фазовом пространстве области притяжения разл. аттракторов - как простых (состояние равновесия, устойчивый П. ц.), так и странных. Неустойчивые многообразия седловых П. ц. могут входить в состав странных аттракторов и стохастич. множеств гамиль-тоновых систем и определять их структуру. Если все мультипликаторы по модулю больше 1, то П. ц. неустойчив (устойчив при обращении направления движения по траектории, т. е. при).
Пусть некоторая динамическая система задана уравнениями
Решение данной системы при t → ∞
не всегда задается состоянием равновесия.
Так, например, при условии получения мнимых корней соответствующего характеристического уравнения поведение системы характеризуется как незатухающие колебания с постоянной амплитудой, то есть решением являются функции x(t+T)=x(t)
, y(t+T)=y(t)
. В данном случае говорят, что в системе существует устойчивый предельный цикл
. Типичная картина поведения решений в окрестности предельного цикла представлена на рис. 1
Рисунок 1 - Устойчивый предельный цикл
Фазовые траектории изнутри и извне «наматываются» на цикл. независимо от исходных данных в системе будут происходить колебания с постоянными амплитудой и частотой - так называемые автоколебания
.
Типы предельных циклов
:
- Устойчивые - близкие траектории «навиваются» на цикл при t → ∞ (рис. 2);
- Полустойкие - траектории, находящиеся по одну сторону от цикла - «навиваются» на него при t → ∞ , а те, что находятся по другую сторону - «отходят» от цикла (рис. 3);
- Неустойчивые - близкие траектории «отходят» от цикла при t → ∞ (рис. 4).
Рис. 2 - Устойчивые циклы. Рис. 3 - Полустойкие. Рис. 4 - Неустойчивые
К сожалению, обобщенных эффективных методов определения устойчивости предельных циклов не существует. Один из них основан на использовании функции подражания.
Функция подражания
Идея построения функции подражания состоит в следующем. Проводится луч, что явно пересекает предельный цикл и близкие траектории. Например, проведем луч ОА , исходящего из особой точки О , которая лежит внутри предельного цикла (рис. 5). Введем координату r вдоль этого луча. Рассмотрим траекторию, выходящую из точки А , принадлежащей лучу. Пусть эта траектория впервые пересекает луч в точке В . Введем функцию r B = f(r A) , которая каждой точке с координатой r A ставит в соответствие координату точки В . Пусть r n - координата n -го пересечения траектории с лучом. Тогда r n+1 =f(r n) , а предельном циклу соответствует неподвижная точка этого отображения r* = f(r*) . Если r n → r* для всех r i , принадлежащих окрестности r* , то предельный цикл будет устойчивым.
Рисунок 5 - Построение функции подражания
Идея построения функции подражания оказалась очень плодотворной для исследования нелинейных систем, особенно высшего порядка (размерность фазового пространства N>2
). Обобщение описанного подхода носит название метода сечений Пуанкаре
. При этом, переходя к системам с большим количеством измерений, вместо луча ОА
следует рассматривать некоторую гиперплоскость. Например, в трехмерном случае рассматривают точки Р0, Р1, Р2, ..., Рn
как сечения траектории с плоскостью S
(рис. 6). Преобразования, что переводят точку в следующую, называется отображением Пуанкаре
:
Р n + 1 = Т(P n)
Рисунок 6 - Схематическое изображение сечения Пуанкаре
Метод сечений Пуанкаре упрощает исследования непрерывных динамических систем по крайней мере по трем причинам:
- Количество фазовых переменных уменьшается на единицу;
- Дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями вида x i (k + 1) = f (x i (k)), i = 1,2, ..., N, которые значительно легче поддаются исследованию;
- Резко сокращается количество данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.
Мы рассмотрели два типа особых траекторий: особые точки и сепаратрисы. Очень важным видом особой траектории является «предельный цикл». В линейной системе второго порядка описываемой дифференциальным уравнением (1), при имеем замкнутую фазовую траекторию (эллипс), которую мы не можем отнести к предельным циклам, т.к. в этом случае имеем в системе не автоколебания, а границу устойчивости линейной системы. Во всех остальных случаях изолированные, замкнутые фазовые траектории принято называть предельными циклами.
Предельный цикл соответствует устойчивому периодическому режиму – автоколебаниям, если все фазовые траектории «наматываются» на предельный цикл (устойчивый предельный цикл) (Рис. 18).
Если же все фазовые траектории «сматываются» с предельного цикла, как изнутри, так и снаружи, такой предельный цикл неустойчив и соответствует неустойчивым автоколебаниям. (Рис. 19).
Если же соседние траектории «навёртываются» на предельный цикл с одной стороны и «свёртываются» с другой, такой предельный цикл называется полуустойчивым. (Рис. 20).
Итак, при исследовании НСАР особыми траекториями являются «особые точки» (положение равновесия) и предельные циклы (устойчивые периодические колебания). Они и составляют схему фазового портрета.
Метод точечного преобразования
Метод точечных преобразований предложен академиком Андроновым и является дополнением к методу фазовой плоскости. Он служит для анализа возможных режимов в НСАР и их количественной оценки. Пусть изображающая точка в какой-то момент времени находится на верхней полуоси ординат (·Y 1). При движении изображающей точки по фазовой траектории она обходит начало координат и снова возвращается на полуось (·Y 2). (Рис. 21)
При этом «Y 2 » может быть больше, меньше или равно «Y 1 ». Операция нахождения точкиY 2 по заданной точкеY 1 называетсяточечным преобразованием .
Аналитическое взаимно однозначное и непрерывное соответствие точек Y 2 с точкамиY 1 на одной и той же полупрямой (т.е. точечное преобразование) устанавливается с помощью так называемойфункции последования , которая может быть получена из уравнения фазовой траектории
(14)
С помощью этой зависимости можно осуществить точечное преобразование всех точек положительной полуоси ординат, или, другими словами, точечное преобразование положительной полуоси Y, в саму себя.
Г
рафическое
изображение
называетсядиаграммой точечного
преобразования
. По этой диаграмме мы
и можем исследовать всевозможные режимы
в НСАР, не строя фазового портрета.
Точечное преобразование можно осуществлять
необязательно для положительной полуоси.
В принципе это можно делать для полуосиXи других прямых.
Предположим, что имеется диаграмма
точечного преобразования. (Рис. 22)
Характер процессов, происходящих в НСАР
определяется взаимным расположением
диаграммы точечного преобразования
[
]
и биссектрисы координатного угла,
уравнение которойY 2 =Y 1 . Это означает,
что после обхода вокруг начала (·)Y 1 возвращается на своё место и, следовательно,
в системе имеют место незатухающие
колебания (предельный цикл).
Область ниже биссектрисы ОА означает,
что после обхода начала координат Y 1 Область выше биссектрисы ОА соответствует
Y 2 >Y 1 ,
и, следовательно, в этой области фазовые
траектории представляют раскручивающуюся
спираль (расходящиеся колебания). Рассмотрим характер процессов в САР
при любых начальных условиях: При начальных условиях Y 0 =Y 11 (справа от точки
А 2) точечные преобразования опять
приводят нас к точке А 2 , следовательно
точка А 2 является точкой устойчивого
равновесия и соответствует устойчивому
предельному циклу. Аналогичные рассуждения в окрестностях
точки А 1 показывают, что точка А 1 является точкой неустойчивого равновесия
(неустойчивый предельный цикл). Итак, устойчивым предельным циклам
соответствуют такие точки пересечения
диаграммы точечного преобразования с
биссектрисой Y 2 =Y 1 , в которых диаграмма
точечного преобразования имеет меньший
наклон к оси абсцисс, чем биссектриса. Аналитически это записывается так:
система
устойчива в малом, т.к. при Y 1 в
системе возможен один предельный
устойчивый цикл (точка А 2). З Кривая 1, как мы видели ранее, соответствует
устойчивости в малом и двум предельным
циклам: устойчивому (А 2) и
неустойчивому (А 1). Кривая 3
соответствует устойчивости в целом (ни
одного предельного цикла). Кривая 2
касается биссектрисы и соответствует
полуустойчивому предельному циклу. При
изменении параметров НСАР мы переходим
от кривой 2 к кривой 1 или 3, т.е. кривая 2
является границей между совершенно
разными режимами работы НСАР. Значения
параметров НСАР, при которых имеет место
полуустойчивый предельный цикл,
называютсябифуркационными
.
(Бифуркация (лат.) – разделение,
разветвление). Которой нет других периодических траекторий. Эквивалентным является утверждение, что всякая достаточно близкая к предельному циклу траектория стремится к нему либо в прямом, либо в обратном времени. Однако, на бутылке Клейна или при рассмотрении комплексифицированных предельных циклов, возможна и более сложная бифуркация - так называемая катастрофа голубого неба
. А именно, при стремлении параметра к критическому значению длина (одного!) предельного цикла начинает нарастать, стремясь к бесконечности, и поэтому он не продолжается на сам момент бифуркации. Вторая часть 16-й проблемы Гильберта касается возможного количества и расположения предельных циклов векторных полей на плоскости. В отличие от первой - алгебраической - части, требующей описать расположение овалов алгебраической кривой заданной степени, даже для квадратичных векторных полей неизвестно существование равномерной оценки сверху на число предельных циклов. Wikimedia Foundation
.
2010
.
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ
- замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве динамич. системы, изображающая периодич. движение. В окрестности П. ц. фазовые траектории либо удаляются от него (неустойчивый П. ц.), либо неограниченно приближаются к нему «наматываются» … Физическая энциклопедия
предельный цикл
- — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN limit cyclelimiting cycle … Справочник технического переводчика
Предельный цикл
- системы дифференциальный уравнений 2 го порядка замкнутая траектория в фазовом пространстве xOy, обладающая тем свойством, что все траектории, начинающиеся в достаточно узкой кольцеобразной ее окрестности, неограниченно… … Большая советская энциклопедия
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ
- замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к рая является a или w предельным множеством (см. Предельное множество траектории) хотя бы для одной другой траектории этой системы. П. ц. наз … Математическая энциклопедия
предельный цикл
- ribinis ciklas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. limit cycle vok. Grenzschwingung, f; Grenzzyklus, m rus. предельный цикл, m pranc. cycle limite, m … Automatikos terminų žodynas
Экономический словарь
предельная петля гистерезиса
- предельный цикл гистерезиса; предельная петля гистерезиса Наибольший по площади цикл гистерезиса магнитного материала … Политехнический терминологический толковый словарь
Точечное
преобразование точки
- точка 1 (Рис. 22). К точке 1 применим ещё
раз точечное преобразование, для чего
найдём на оси абсцисс значение
.
Для этого проведём через точку 1 прямую,
параллельную оси абсцисс до пересечения
с биссектрисой (точка 2). Точечное
преобразование точки 2 – точка 3. Повторяя
эти преобразования получаем ступенчатую
линию, приводящую нас в точку равновесия
А 2 . Точки касания ступенчатой
линией биссектрисы ОА определяют
последовательность точек пересечения
фазовой траекторией полуосиY.
,
т.к.
биссектрисы = 1. При
имеем неустойчивый предельный цикл.
Другими словами, устойчивый предельный
цикл получается, если диаграмма точечного
преобразования пересекает биссектрисуY 2 =Y 1 сверху вниз, а неустойчивый – если снизу
вверх. Таким образом, кривая точечного
преобразования позволяет проанализировать
возможные режимы поведения НСАР, а
именно:
ная
координаты точки А 2 , можно
рассчитать частоту и амплитуду
автоколебаний. При изменении параметров
НСАР диаграмма точечного преобразования
перемещается относительно биссектрисы
угла. При этом поведение НСАР может
качественно меняться (Рис. 23).Катастрофа голубого неба
Физический пример: осциллятор Ван дер Поля
16-я проблема Гильберта
См. также
Литература
Смотреть что такое "Предельный цикл" в других словарях:
